第45章新的副本
第45章新的副本(第5/6頁)
眼前是一片光滑的丶找不到任何著力點的絕壁。
他放下筆，在房間裡來回踱步，強迫自己跳出之前的思維定式。
【如果，從另一個角度看呢？】
【4/n=(4(k+1))/(n(k+1))=(4k+4)/(n(k+1))=(n+1)/(n(k+1))。】
【4/n=1/(k+1)+1/(n(k+1))。】
【這個恒等式，是解決問題的關鍵！由mordell在1969年提出！】
一個在數論曆史中閃耀的名字，浮現在他的腦海中！
【我一直在試圖自己重新發明輪子！其實前人已經鋪好了路！】
思路，瞬間豁然開朗！
他重新坐回桌前，眼神中爆發出前所未有的光芒。
他不再糾結於自己構造，而是直接站在了巨人的肩膀上！
【對於n=4k+3的情況：】
【利用恒等式4/n=1/((n+1)/4)+1/(n(n+1)/4)。】
【因為n=4k+3，所以n+1=4k+4=4(k+1)。】
【(n+1)/4=k+1，是整數！所以1/((n+1)/4)是一個單位分數！】
【令x=(n+1)/4。】
【現在，隻需要將1/(n(n+1)/4)分解成兩個單位分數之和。】
【1/a=1/(a+1)+1/(a(a+1))。這是一個經典的分解！】
【所以，x=(n+1)/4，y=n(n+1)/4+1，z=(n(n+1)/4)*(n(n+1)/4+1)。】
【搞定！第三種情況，解決！】
隻剩下最後，也是最難的一種情況：n=4k+1。
他用同樣的方法，將問題轉化，但發現，無論如何，都無法避免地會出現更複雜的分數形式。
【我到底忽略了什麽……】
他看著窗外城市的點點燈火，大腦放空。
突然，他想起了自己最初的驗算。
n=5:4/5=1/2+1/4+1/20。
【這裡的x，y，z之間，有什麽關係？】
【如果，我能找到一個關於n的線性同餘方程組，它的解，恰好能導出x，y，z呢？】
【中國剩餘定理！】
一個古老而又強大的東方智慧，如同啟明星，照亮了最後的黑暗！
他猛地衝回桌前，心臟狂跳。
他不再試圖去「構造」一個通用的公式，而是去「證明」一個解的存在性！
【對於n=4k+1的情況，我們可以找到一個整數t，使得t*n+1是一個4的倍數，甚至是某個數的倍數……】
【不，思路更直接一點！我們可以找到兩個整數a，b，使得an+1=4b。】
【根據裴蜀定理，隻要gcd(n，4)=g
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