第45章新的副本
第45章新的副本(第4/6頁)
峰的攀登。
【第一步，嘗試小數據和特殊情況。】
n=2:4/2=2。1/1+1/2+1/2。有解。
n=3:4/3=1/1+1/6+1/6。有解。
n=4:4/4=1。1/2+1/3+1/6。有解。
n=5:4/5=1/2+1/4+1/20。有解。
【看起來，解總是存在的。那麽，證明的關鍵，在於構造。】
他冇有急於下結論，而是開始思考問題的核心。
【4/n=1/x+1/y+1/z。這個方程的自由度太高了，三個未知數。必須想辦法減少變量，或者找到它們之間的約束關係。】
【思路的核心，應該是根據n的性質，來構造出對應的x，y，z。】
突然，一道靈光閃過！
【是n的同餘性質！特彆是模4的餘數！】
一個在解決丟番圖方程時，屢試不爽的強大武器，浮現在他的腦海中。
【任何整數n，根據模4的餘數，都可以被分為四類：4k，4k+1，4k+2，4k+3。】
【如果我能為每一類n，都找到一個通用的構造公式，那麽問題不就解決了嗎？！】
徐辰的精神為之一振，睡意全無。他感覺自己像一個工程師，不再是盲目地尋找一個特定的零件，而是開始設計一套能生產所有零件的「模具」！
【第一種情況：n=4k。】
【4/n=4/(4k)=1/k。】
【1/k=1/(2k)+1/(3k)+1/(6k)。】
【所以，x=2k，y=3k，z=6k。搞定！這一類最簡單。】
【第二種情況：n=4k+2=2(2k+1)。】
【4/n=4/(2(2k+1))=2/(2k+1)。】
【2/(2k+1)=1/(2k+1)+1/(2k+1)。還差一個……】
【1/(2k+1)=1/(2k+2)+1/((2k+1)(2k+2))。】
【所以，4/n=1/(2k+1)+1/(2k+2)+1/((2k+1)(2k+2))。】
【令x=2k+1，y=2k+2，z=(2k+1)(2k+2)。搞定！】
邏輯的鏈條，開始一環扣一環地被構建起來。前兩種情況，他隻用了不到半個小時，就輕鬆解決。
但當他開始處理第三種情況時，瓶頸出現了。
【第三種情況：n=4k+3。】
他嘗試了各種恒等變換，試圖構造出通用的解，但每一次，構造出的分母中，都不可避免地會出現k，導致解的普適性被破壞。
【這條路，走不通。或者說，簡單的恒等變換，在這裡失效了。】
他感到了焦灼。就像攀岩者，已經爬到了半山腰，卻發現
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