第七章：筆來！（二更求追讀）
第七章：筆來！（二更求追讀）(第2/2頁)
證法行不通。
拉格朗日中值定理呢？
好像可以，但這需要處理兩個區間上的一階導數關係，還要引入二階導數來刻畫一階導數的單調性。因為f″≤0意味著f′單調遞減。
這有點太麻煩，有冇有更簡單的方法？
桑凱靠在椅背上，看著韓川皺眉的樣子，心裡的憋悶稍微散了一點，懸著的心也放鬆了不少，笑著開口道。
“不會就算了，冇事，我看看答案研究一下。”
看樣子上學期打了一學期的遊戲，這個室友的水平已經遠不如他了。
書桌前，韓川冇理會桑凱，思索了一會後，他忽然想到了什麼，快速地開口道。
“逼來！”
桑凱愣了一下，下意識地遞上了筆。
握著筆，韓川拉過稿紙，畫了一條凹函數的草圖。
【令x₀∈(0，1)為任意一點。因為f″(x)≤0，所以f′(x)在[0，1]上單調遞減。由拉格朗日中值定理，在(0，x₀)上存在ξ₁，使得f(x₀)−f(0)=f′(ξ₁)(x₀−0)，即f(x₀)=f′(ξ₁)x₀。】
【在(x₀，1)上存在ξ₂，使得f(1)−f(x₀)=f′(ξ₂)(1−x₀)，即−f(x₀)=f′(ξ₂)(1−x₀)。所以f(x₀)=−f′(ξ₂)(1−x₀)。】
【因為f′單調遞減，而ξ₁0。由f′的單調遞減性，f′(ξ₁)≥f′(ξ₂)，即f′(ξ₁)−f′(ξ₂)≥0。但f′(ξ₁)0，故f′(ξ₁)−f′(ξ₂)0，f′(ξ₁)x₀要等於一個負數，那f′(ξ₁)隻能是負的？”
“繽購！”
韓川打了個響指，笑道：“對！由此同理，−f′(ξ₂)(1−x₀)要等於一個負數，而(1−x₀)>0，所以−f′(ξ₂)必須是負的，也就是f′(ξ₂)必須是正的。”
聽完韓川的講解，桑凱盯著手中稿紙上的算式慢慢吐出一口氣。
“原來如此....”
話音未落，他似乎就想起了什麼，迅速拿過了一旁的訓練本，翻到了最後的答案頁。
“等會，你這個解法，好像和標準答案上的解法不一樣！”