第44章於星辰中鑄劍！
第44章於星辰中鑄劍！(第3/3頁)
異樣的情緒中拉了回來，帶入了下一個更深邃的挑戰。
“這個圖，隻有31個頂點，獨立數怎麼可能大於42？”
簡瑤下意識地問，隨即反應過來，“哦，你說的是拉姆齊數r(5，5)！
我們現在構造出的這個圖，它甚至連r(4，5)的反例都算不上！”
她的思維，已經被許燃徹底帶到了一個全新的高度。
許燃搖了搖頭。
“這個模型，隻是一個玩具。
一個讓我們理解‘代數圖論’思想的玩具。”
“但這個思想，可以推廣。”
他的筆尖，在pg(2，q)的那個q上，重重一點。
“如果，我們把這個q，換成彆的數字呢？
比如，q=41？
一個素數？”
“pg(2，41)……它的點數是4105+41+1=1723個！”簡瑤倒吸一口涼氣。
“冇錯，所以簡單的射影平麵不夠。”
許燃的目光，變得如同黑洞般深邃，“我們需要更複雜的代數結構。
比如，用‘二次剩餘’去定義‘相鄰’關係。”
他開始在草稿紙上，寫下一連串簡瑤聞所未聞的概念。
【佩利圖p(q)】
“這又是什麼？”
簡瑤感覺自己像個好奇寶寶，完全被許燃牽著鼻子走，但她心甘情願。
“一個更純粹的代數怪物。”
許燃的眼睛裡閃著光。
“它的構造更簡單粗暴。取一個素數q，並且要求q模4餘1。”
“圖的頂點，就是有限域gf(q)裡的q個元素，從0到q-1。”
“兩個頂點x和y之間有冇有邊，隻看一件事。”
他頓了頓，用紅筆重重寫下兩個字。
“‘差值’。”
“如果x-y是gf(q)裡的‘二次剩餘’，那麼它們之間就有邊。
如果不是，就冇有。”
“二次剩餘？”
這個詞簡瑤知道，就是指一個數在模q的意義下，能被寫成另一個數的平方。
比如在模5的意義下，1和4就是二次剩餘，因為1=105=405，4=205=305。
“對。”
許燃點頭，“比如，我們直接攻擊r(5，5)的下界，構造一個41階的圖。
取q=41，因為它是一個素數，且41=4*10+1。”
“我們構造佩利圖p(41)。”
“它的頂點，就是0，1，2，...，40。”
“頂點2和頂點5之間有冇有邊？”許燃看向簡瑤。
“5-2=3，我們需要判斷3是不是模41的二次剩餘……”簡瑤迅速心算，卻發現這並不容易。
“很難算，對吧？”
許燃笑了笑，“但數學的美妙在於，我們不需要一個一個去算。
高斯早就為我們鋪好了路。”