第十一章临界
第十一章临界(第3/10页)
表后引用量至今没超过三位数。但赋分制的整个数学根基，就藏在这篇论文的附录b里。
他把论文翻到推导部分，从第一步开始重新走了一遍。不是回忆，是确认——确认自己十几年前算出来的那个数字，在经历了政策制定、社会争论、舆论压力之后，仍然站得住。
第一步是定义建模对象。一个有限群体，个体总数为n。每个个体面临一个二元选择——采取新技术，或保持旧状态。赋分制需要设计的，就是让这两个选择在群体层面上不至于失衡。
第二步是刻画个体决策规则。每个个体在决定是否跟风之前，会从周围随机抽取k个邻居作为参考样本，观察其中已植入者的比例。这个局部观测值与全局真实比例之间存在偏差，偏差的大小就是信息不对称参数σ。
第三步是建立动态方程。系统层面的植入比例x会随时间演化：dx/dt=f(x)-x。f(x)是“在观测到当前植入比例为x的情况下，一个随机个体选择植入的概率”。
第四步是引入激活阈值的分布。不是所有人都会被同一个比例说服。有的人看到极少人做就跟着做（激进采纳者），有的人要看到绝大多数人做了才行动（保守者）。这些激活阈值在群体中不是整齐划一的，而是服从某种概率分布。韩世清选择了beta(α,β)分布来刻画这个分布——α和β是形状参数，控制群体整体偏向激进还是保守。
第五步才是临界阈值的推导。系统的平衡点出现在f(x)=x处。在信息不对称条件下，个体的局部观测值不等于全局真实比例x，而是x加上一个随机噪声。因此f(x)需要计算：一个个体的激活阈值θ小于等于其带噪声的局部观测值的概率。这是一个双重积分——先对θ在beta分布上积分，再对观测噪声在正态分布上积分。在一般情况下没有解析解，但数值求解可以找到临界点c：当xc时系统进入正反馈加速，植入比例不可逆地上升。
c的具体数值取决于α、β和σ。韩世清当时没有条件做大规模实证估计。他用了一个在数学上方便处理的对称假设——beta(1,1)即均匀分布，表示群体中各类阈值的人均匀存在；σ取中等水平。在这个假设下，数值求解得出：
c≈0.1357
精确到小数点后四位，近似等于e/2——自然对数底数的一半。
他当时在这个约等号后面划了一道线，在页边写了一个“？”。
后来，当他在教育部开始着手赋分制设计时，他让社科院统计团队基于北、上、广、成四个城市的家长群体调研数据重新估计了参数。估计结果显示：α≈2，β≈4——分布偏向保守，说明
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