第45章新的副本
第45章新的副本(第4/6页)
峰的攀登。
【第一步，尝试小数据和特殊情况。】
n=2:4/2=2。1/1+1/2+1/2。有解。
n=3:4/3=1/1+1/6+1/6。有解。
n=4:4/4=1。1/2+1/3+1/6。有解。
n=5:4/5=1/2+1/4+1/20。有解。
【看起来，解总是存在的。那麽，证明的关键，在于构造。】
他没有急于下结论，而是开始思考问题的核心。
【4/n=1/x+1/y+1/z。这个方程的自由度太高了，三个未知数。必须想办法减少变量，或者找到它们之间的约束关系。】
【思路的核心，应该是根据n的性质，来构造出对应的x，y，z。】
突然，一道灵光闪过！
【是n的同馀性质！特别是模4的馀数！】
一个在解决丢番图方程时，屡试不爽的强大武器，浮现在他的脑海中。
【任何整数n，根据模4的馀数，都可以被分为四类：4k，4k+1，4k+2，4k+3。】
【如果我能为每一类n，都找到一个通用的构造公式，那麽问题不就解决了吗？！】
徐辰的精神为之一振，睡意全无。他感觉自己像一个工程师，不再是盲目地寻找一个特定的零件，而是开始设计一套能生产所有零件的「模具」！
【第一种情况：n=4k。】
【4/n=4/(4k)=1/k。】
【1/k=1/(2k)+1/(3k)+1/(6k)。】
【所以，x=2k，y=3k，z=6k。搞定！这一类最简单。】
【第二种情况：n=4k+2=2(2k+1)。】
【4/n=4/(2(2k+1))=2/(2k+1)。】
【2/(2k+1)=1/(2k+1)+1/(2k+1)。还差一个……】
【1/(2k+1)=1/(2k+2)+1/((2k+1)(2k+2))。】
【所以，4/n=1/(2k+1)+1/(2k+2)+1/((2k+1)(2k+2))。】
【令x=2k+1，y=2k+2，z=(2k+1)(2k+2)。搞定！】
逻辑的链条，开始一环扣一环地被构建起来。前两种情况，他只用了不到半个小时，就轻松解决。
但当他开始处理第三种情况时，瓶颈出现了。
【第三种情况：n=4k+3。】
他尝试了各种恒等变换，试图构造出通用的解，但每一次，构造出的分母中，都不可避免地会出现k，导致解的普适性被破坏。
【这条路，走不通。或者说，简单的恒等变换，在这里失效了。】
他感到了焦灼。就像攀岩者，已经爬到了半山腰，却发现
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